frallog

Questa nota e' per fine febbraio. Quindi fino a marzo non ne dovrei scrivere piu'.

In questa nota ci occupiamo del trasferimento di carico per una vettura a trazione posteriore. Arriveremo a dimostrare l'assurdo e cioe' che l'accelerazione a' in un dato istante t' dipende dalla derivata dell'accelerazione rispetto al tempo, cioe' come la derivata terza del vettore posizione rispetto al tempo (***ORRORE!!!***). Allo stesso tempo vedremo che questo fenomeno permette di poter considerare il coefficiente di attrito statico ***come se*** quest'ultimo potesse variare nel tempo, e in particolare sia una funzione della massa e dell'acelerazione a' all'istante generico t'.

Iniziamo con il trovare la funzione di massa m' che grava sull'asse posteriore in virtu' dell'accelerazione a' ad un dato istante t'.



Se la vettura non slitta (il coefficiente di attrito e' statico, cioe' mu=mus) all'istante:

1) [t'=t+dt]

avremo che in virtu' del trasferimento di carico sull'asse posteriore si ha una forza maggiore in virtu' della quale e' possibile avere anche una accelerazione maggiore, senza che la vettura slitti. Ma se l'accelerazione e' maggiore allora a sua volta il trasferimento di carico e' maggiore e dunque a sua volta l'accelerazione puo' ancora aumentare.
Si nota che la serie di accelerazioni qui ipotizzata: a' = a0 + a1 +..... +an e' convergente in quanto e' convergente il trasferimento di carico per il quale si ha un valore massimo di m, sull'asse posteriore.

2) [F'_(t') = F_(t) + dF_(t)]

al tempo stesso si ha che:

3) [ a'(t') = a(t) + da(t) ]

4) [ m'(t') = m(t) + dm(t) ]

dove a' e' l'accelerazione che puo' essere impostata senza slittare all'istante t', mentre m' e' la massa che grava sull'asse posteriore all'istante t'.

ora basandosi sulla figura presente nello schema precedente, evidentemente sull'asse posteriore deve risultare:

Una funzione che riproduce molto bene queste condizioni e' la seguente:

5) m' = m * 1/[1+e^(-a/g)]

Infatti e' subito verificato che tale funzione soddisfa le condizioni imposte. Si nota esplicitamente che qui e' stato posto il fattore a/g invece del semplice "a", che pure andava bene, per rendere la grandezza adimensionale.

Un grafico della funzione (5) e' il seguente:


torniamo ora alla (4). Sappiamo che

m' - m = dm

e sostituendo la (5) in m' sappiamo allora che:

a) dm = m'-m = m' = m * 1/[1+e^(-a/g)] - m =
= m { 1/[1+e^(-a/g) - 1 }

dalla (2) invece si ha:

m' a' = m a + d(ma) = m a + a d(m) + m d(a) = (per la precedente) =

= a m { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 } + m d(a) =

= m (a+da) + a m { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 }

ma per la (3) a+da=a' per cui:

m' a' - m a' = a m { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 }

da cui:

(m' - m) a' = a m { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 }

ovvero:

b) a' = a m/dm { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 }

ma per la (4) m' - m = dm. Non possiamo sostituire nuovamente a dm l'equazione (a) in quanto altrimenti otterremmo un'equivalenza. Possiamo pero' ricavare qualcosa di nuovo con una funzione derivata. Infatti sappiamo che una funzione derivata e' un vettore linearmente indipendente rispetto alla funzione originale. Possiamo allora aggiungere effettivamente qualcosa di nuovo:

m' - m = dm = (dm/da) da

dunque sostituendo la (5) si ha:

dm = { -1 / [ 1+e^(-a/g)]^2 } * { -1/g e^(-a/g) } da =

= 1/g e^(-a/g)/[1+e^(-a/g)]^2 da

ovvero:

c) dm = 1/g e^(-a/g)/[1+e^(-a/g)]^2

sostituendo la (c) nella (b) ricaviamo allora:

a' = g [1+e^(-a/g)]^2/[e^(-a/g)] da m { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 } a

ovvero:

6) a' = mg [1+e^(-a/g)]^2/[e^(-a/g)] { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 } a da

L'equazione (6) dipende da mg che e' la forza peso, ma anche da uno scomodissimo differenziale sull'accelerazione.

essendo ora:

a da = a dt da/dt = dv da/dt

dove dv e' la differenza tra le velocita' all'istante t e t' si ha:

7) a' = mg [1+e^(-a/g)]^2/[e^(-a/g)] { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 } dv da/dt

e dunque l'accelerazione istantanea all'istante generico t' dipende dalla derivata dell'acelerazione rispetto al tempo, come dire dipende da d3(x)/(dt)^3 !!!!!

ORRORE
SDEGNO
SGOMENTO
SCONCERTO
INCREDULITA'

prima d'ora avevo visto comparire la derivata terza del vettore posizione solo in strambe equazioni cosmologiche.

comunque concludiamo con il coefficiente d'attrito.

F' = m' a' = mus m' g =>

[ mus = a'/g ]

dove a' e' espresso dalla (7)

Opinioni in merito sono graditissimisssimissssime.

Regards,
Francesco ))