Il trasferimento di carico: questo sconosciuto.

Questa nota e' per fine febbraio. Quindi fino a marzo non ne dovrei scrivere piu'.

In questa nota ci occupiamo del trasferimento di carico per una vettura a trazione posteriore. Arriveremo a dimostrare l'assurdo e cioe' che l'accelerazione a' in un dato istante t' dipende dalla derivata dell'accelerazione rispetto al tempo, cioe' come la derivata terza del vettore posizione rispetto al tempo (***ORRORE!!!***). Allo stesso tempo vedremo che questo fenomeno permette di poter considerare il coefficiente di attrito statico ***come se*** quest'ultimo potesse variare nel tempo, e in particolare sia una funzione della massa e dell'acelerazione a' all'istante generico t'.

Iniziamo con il trovare la funzione di massa m' che grava sull'asse posteriore in virtu' dell'accelerazione a' ad un dato istante t'.

La massa qui viene simbolicamente rappresentata
come nel centro di gravita' CG.

              ---
             / m \
 ---        /     \        ---
|   |---------------------|   | a_ = 0_
 ---                       ---
  | m/2                     | m/2
  v                         v



              ---
             / m \
 ---        /     \        ---
|   |---------------------|   | a_ = &_
 ---                       ---
  | m                       = 0
  v                          

dove & e' il valore di infinito.

Se la vettura non slitta (il coefficiente di attrito e' statico, cioe' mu=mus) all'istante:

1) [t'=t+dt]

avremo che in virtu' del trasferimento di carico sull'asse posteriore si ha una forza maggiore in virtu' della quale e' possibile avere anche una accelerazione maggiore, senza che la vettura slitti. Ma se l'accelerazione e' maggiore allora a sua volta il trasferimento di carico e' maggiore e dunque a sua volta l'accelerazione puo' ancora aumentare.
Si nota che la serie di accelerazioni qui ipotizzata: a' = a0 + a1 +..... +an e' convergente in quanto e' convergente il trasferimento di carico per il quale si ha un valore massimo di m, sull'asse posteriore.

2) [F'_(t') = F_(t) + dF_(t)]

al tempo stesso si ha che:

3) [ a'(t') = a(t) + da(t) ]

4) [ m'(t') = m(t) + dm(t) ]

dove a' e' l'accelerazione che puo' essere impostata senza slittare all'istante t', mentre m' e' la massa che grava sull'asse posteriore all'istante t'.

ora basandosi sulla figura presente nello schema precedente, evidentemente sull'asse posteriore deve risultare:

      / m/2; a=0
m' = <
      \ m; a=&

Una funzione che riproduce molto bene queste condizioni e' la seguente:

5) m' = m * 1/[1+e^(-a/g)]

Infatti e' subito verificato che tale funzione soddisfa le condizioni imposte. Si nota esplicitamente che qui e' stato posto il fattore a/g invece del semplice "a", che pure andava bene, per rendere la grandezza adimensionale.

Un grafico della funzione (5) e' il seguente:

   ^
   |
   |
 m +---------------------------------------------
   |                                         *
   |                     *
   |           *
   |     *
   |  *
m/2+*--------------------------------------------
   |
   |
   |
   |
   |
   +------------+------------+------------+---------> a/g
                3            6            9

torniamo ora alla (4). Sappiamo che

m' - m = dm

e sostituendo la (5) in m' sappiamo allora che:

a) dm = m'-m = m' = m * 1/[1+e^(-a/g)] - m =
= m { 1/[1+e^(-a/g) - 1 }

dalla (2) invece si ha:

m' a' = m a + d(ma) = m a + a d(m) + m d(a) = (per la precedente) =

= a m { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 } + m d(a) =

= m (a+da) + a m { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 }

ma per la (3) a+da=a' per cui:

m' a' - m a' = a m { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 }

da cui:

(m' - m) a' = a m { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 }

ovvero:

b) a' = a m/dm { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 }

ma per la (4) m' - m = dm. Non possiamo sostituire nuovamente a dm l'equazione (a) in quanto altrimenti otterremmo un'equivalenza. Possiamo pero' ricavare qualcosa di nuovo con una funzione derivata. Infatti sappiamo che una funzione derivata e' un vettore linearmente indipendente rispetto alla funzione originale. Possiamo allora aggiungere effettivamente qualcosa di nuovo:

m' - m = dm = (dm/da) da

dunque sostituendo la (5) si ha:

dm = { -1 / [ 1+e^(-a/g)]^2 } * { -1/g e^(-a/g) } da =

= 1/g e^(-a/g)/[1+e^(-a/g)]^2 da

ovvero:

c) dm = 1/g e^(-a/g)/[1+e^(-a/g)]^2

sostituendo la (c) nella (b) ricaviamo allora:

a' = g [1+e^(-a/g)]^2/[e^(-a/g)] da m { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 } a

ovvero:

6) a' = mg [1+e^(-a/g)]^2/[e^(-a/g)] { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 } a da

L'equazione (6) dipende da mg che e' la forza peso, ma anche da uno scomodissimo differenziale sull'accelerazione.

essendo ora:

a da = a dt da/dt = dv da/dt

dove dv e' la differenza tra le velocita' all'istante t e t' si ha:

7) a' = mg [1+e^(-a/g)]^2/[e^(-a/g)] { 1/[1+e^(-a/g)] - 1 } dv da/dt

e dunque l'accelerazione istantanea all'istante generico t' dipende dalla derivata dell'acelerazione rispetto al tempo, come dire dipende da d3(x)/(dt)^3 !!!!!

ORRORE
SDEGNO
SGOMENTO
SCONCERTO
INCREDULITA'

prima d'ora avevo visto comparire la derivata terza del vettore posizione solo in strambe equazioni cosmologiche.

comunque concludiamo con il coefficiente d'attrito.

F' = m' a' = mus m' g =>

[ mus = a'/g ]

dove a' e' espresso dalla (7)

Opinioni in merito sono graditissimisssimissssime.

Regards,
Francesco ))

[MauMicra]

Scritto in origine da frallog

prima d'ora avevo visto comparire la derivata terza del vettore posizione solo in strambe equazioni cosmologiche.

Non ho letto tutto.... ma ti devo dire che la derivata terza della posizione (JERK) e la quarta (JOUNCE) sono utilizzate, per esempio, nello studio dei profili delle camme.

Maurizio

Beh ti ringrazio molto.

Questo mi rincuora parecchio!

Regards,
Francesco ))))

[Regazzoni]

Non colgo la meraviglia di una derivata terza, ma vorrei farti notare che il trasferimento di carico completo non avviene per accelerazione infinita, ma semplicemente al limite di ribaltamento che dipende dalla forza applicata (da cui deriva l'accelerazione) dal peso del veicolo e dalla posizione del baricentro del veicolo rispetto al punto di appoggio della ruota posteriore.
Infatti una trazione posteriore può avere trasferimento di carico completo (cioè inizio di ribaltamento, vedi esempio dragster), mentre una trazione anteriore non può averlo, a causa della differente posizione del punto di applicazione della forza rispetto al baricentro.

[neogene]

Vorrei precisare come il trasferimento di carico può essere sensibilizzato o meno a seconda dei parametri sospensivi denominati antisquat e antidive che consentono di avere un maggior momento sull'asse posteriore per caricarlo (antisquat) o cercare l'esatto opposto per cercare di caricare maggiormente le ruote anteriori (antilift). Il discorso è molto semplicistico messo su questi termini, ma se ci pensate il momento che l'auto fa in fase d'accelerazione è dovuto alle sospensioni.

Pensate ad un kart; non ha sospensione e per avere una accelerazione massima maggiore è spostare il peso sull'assale.

Sulle auto anche ciò è vero: difatti porsche 911 con le sue masse a sbalzo consente di avere un momento molto maggiore è consentire maggiori accelerazioni... certo questo poi comporta altre problematiche, ma non è questa la sede.

ciao!!

Grazie a tutti per le VS preziose risposte.

In particolare per Regazzoni:

Al ribaltamento non ci avevo pensato. Allora la funzione da me ipotizzata non va bene. Dovro' trovarne un'altra e rifare i conti..... ma ora sinceramente mi dedico ad altro, ci pensero' poi alla funzione.....

Francesco 8(((