[RISOLTO] Che potenza nei freni!

Mi stavo interrogando sulla potenza dissipata dai freni in un ipotetico 100Km/h-0Km/h ottenuto in tot metri.

Partiamo di nuovo dall'equazione:

F_ = m a_

da cui:

F_ ° ds_ = m a_ ° ds_

da cui:

dL = m a_ ° ds

da cui:


W = dL/dt = m a_ ° ds_/dt

ovvero:

1) [ W = F_ ° v_ = m a_ ° v_ ]

nel caso in cui la forza sia diretta esattamente nella direzione dello spostamento (cioe' della velocita') scriveremo piu' semplicemente:

1') [ W = - m a v ]

Il segno meno e' dovuto al fatto che la potenza viene dissipata e dunque e' in opposizione alla velocita' v. In altre parole l'accelerazione "a" e' opposta alla velocita' v. La velocita' "v" corrisponde alla velocita' da cui si inizia a frenare. Dunque v=v0. L'accelerazione (ovvero la decelerazione) "a" e' quella che permette al veicolo di fermarsi in tot metri dissipando una potenza media <W>. Considereremo la decelerazione costante e dunque a=<a>. La (1) diventa allora:

1") [ <W> = - m <a> v0 ]


D'altronde sappiamo anche che:

x = x0 + v0(t-t0) -1/2 <a>(t-t0)^2

dove, posto x0=0 e t0=0 si ottiene:

2) [ x = v0 t - 1/2<a> t^2 ]

Infine naturalmente sappiamo che:

v = v0 - <a> (t-t0)

dove v e' la velocita' dinale che evidentemente e' nulla (la vettura nello 100-0 si ferma) e infine porremo ancora t0=0. Si ha allora:

0 = v0 - <a> t

ovvero:

3) [ <a> = v0/t ]


Sostituendo la (3) nella (1") e nella (2) si ricava:

<W> = - m <a> v0 = - m / t v0^2

ovvero:

4) [ <W> = - m / t v0^2 ]

x = v0 t - 1/2 v0/t t^2 = v0 t - 1/2 v0 t = 1/2 v0 t

da cui:

x = 1/2 v0 t

ovvero:

5) [ t = 2x/v0 ]

sostituendo la (5) nella (4) si ricava allora:

<W> = - m v0/2x v0^2 = -m/2 v0^3/x

ovvero:

6) [ <W> = -m/2 v0^3/x ]

Ora quest'equazione e' eccellente, infatti nota la massa "m" del veicolo, e lo spazio di arresto x, essa permetterebbe di ricavare la potenza dissipata dai freni (in watt) in quanto v0 e' pari a 100Km/h cioe' 27,778 metri al secondo. Purtroppo pero' il listino di QuattroRuote non riporta gli spazi di arresto delle vetture. Dunque qui niente foglio excel. Peccato!

Ho calcolato la potenza dissipata dai freni della nuova Yaris che frena in 35m(!). Risultato: 416cv!

Opinioni in merito sono gadite.

Regards,
Francesco ))
(P.S. equazione 7: 1=1 non serve ma a me piace il dispari)

[lorenzo78]

brembo oro dischi e pasticche e vivi piu' sereno....ehheheeheh

[neogene]

Vedo se in giornata riesco a procurarti gli spazi di frenata di diverse vetture.

ciao!!

Dunque il presente e' per correggere l'equazione (6). Infatti la (6) non esprime la potenza media bensi' la potenza massima. Infatti nella (1') la potenza cresce con la velocita'. Dunque essendo la velocita' compresa tra v0 (velocita' massima iniziale) e 0 (velocita' minima finale) si ha che la potenza media e' quella della velocita' media ovvero:

<W> = - m <a> (v0 + 0)/2 = - m <a> v0/2

Questa equazione sostituisce la (1") e dunque alla fine si ha:

6') [ <W> = -m/4 v0^3/x ]

mentre:

7) [ W max = -m/2 v0^3/x ]

>>> Un'altro modo per ricavare la 6') e' il seguente:

Dalla (1') sappiamo che:

W = - m a v = - m dv/dt v = - m/2 d(v^2)/dt

da cui passando agli incrementi finiti, e ricordando che porremo t0=0 e v finale e' pari a zero:

<W> = - m/2 D(v^2)/D(t) = m/2 v0^2/t

ovvero:

4') [ <W> = m/2 v0^2/t ]

Questa equazione sostituisce la (4).

Allora sostituendo la (5) nella (4') si ricava che:

6') [ <W> = -m/4 v0^3/x ]

Va poi precisato che W e' proporzionale alla velocita' v. Questo significa che a parita' di decelerazione "a" la potenza dissipata e' piu' forte quanto piu' forte e' la velocita'. Ricordiamo infatti che

W = - m a v

Questo significa che la potenza dissipata e' massima quandoie' massima la velocita'. Questo ragionamento ci porta subito a dire che la potenza massima dissipata e' pari a:

W max = - m a v0

il che, rifacendo il ragionamento, ci porta nuovamente all'equazione:

7) [ W max = -m/2 v0^3/x ]

Opinioni in merito sono gradite.

Regards,
Francesco ))