[RISOLTO] Ribaltamenti nelle curve strette? Ecco il perche'

Nei sistemi non inerziali compaiono le forze cosiddette apparenti. Due di queste sono davvero determinanti per comprendere il comportamento della vettura, parliamo della forza centrifuga e della forza di Coriolis.

Detti:

z omega, velocita' angolare (z_ vettore)

v velocita' istantanea della vettura (v_ vettore)

X prodotto vettoriale

F forza nel sistema inerziale (F_ vettore)

F' forza nel sistema non inerziale (F'_ vettore)

a' accelerazione di traslazione del sistema non inerziale (sara' posta pari a zero, per semplicita') (a_vettore)

si ha che:

F'_ = F_ + m a_' + m z_ X (z_ X r_) + m 2 z_ X v_ = (a'_ = 0_) =
= F_ + m z_ X (z_ X r_) + m 2 z_ X v_

Consideriamo ora un moto circolare uniforme. Questa e' l'approssimazione che viene fatta istante per istante del moto della vettura. Allora sara' F_=0_. Per cui:


1) [ F' = m z_ X (z_ X r_) + m 2 z_ X v_ ]


Ora se la curva e' particolarmente stretta, non possiamo piu' trascurare le dimensioni della vettura. Essendo la vettura un corpo rigido essa avra' eguale velocita' angolare z_ in tutti i punti, ma i punti interni della vettura acranno raggio minore rispetto a quelli esterni. Allo stesso modo i punti interni della vettura avranno velocita' lineare minore di quelli esterni. Quello che allora si verifica, svolgendo i prodotti vettoriali, consiste nel fatto che la vettura e' soggetta ad accelerazioni differenti nelle sue parti interne rispetto alle parti esterne. In particolare in questa sede ci vogliamo concentrare sull'accelerazione di Coriolis.

vi_ = velocita' interna
ve_ = velocita' esterna
ad_ = accelerazione differenziale


              <-+
                 \
     | |                    | |
     | |--------------------| |
     | |                    | |
       <--                     <-----
     2 z_ X vi_                 2 z_ X ve_


Risultante delle forze:


              <-+
                 \
     | |                    | |
     | |--------------------| |<--- ad_
     | |                    | |

Dunque dal punto di vista della vettura si ricava una cospicua accelerazione risultante sull'asse esterno della vettura, diretta verso l'interno. Questo rispetto al baricentro produce un momento di forza, ma non e' il momento di forza il punto. Il punto e' che nel sistema di riferimento della vettura oltre all'accelerazione di Coriolis la vettura e' soggetta all'accelerazione centrifuga. Tale accelerazione sara' applicata al centro di massa della vettura. In questo modo si ha che se il baricentro (come quasi sempre accade) e' piu' alto dell'asse delle ruote il risutlato sara' quello di produrre un momento di forza diretto verso l'alto.

detti 

Fr_ = forza risultante tra le forze di Coriolis.

Fc_ = Forza centrifuga (sul centro di massa)

d_ = distanza tra le ruote interne e quelle esterne (d_/2 braccio)

ad_ = accelerazione differenziale

g_ = accelerazione di gravita'
                


               +---+ 
               | m |\-----> Fc = m z_ X (z_ X v_)
               +---+ \   
                ||    \
             mg_||     \ r_= SQ(d^2/4 + h^2)
                V|      \
                 |h      \
                 |        \
     | |         |         \| |
     | |--------------------| |
     | |                <---| |
                         ad_ (Fr_ = m ad_)

Dunque si ha una vera e propria coppia di forze che esercita un momento di forza sull'asse di raggio r, asse che collega idealmente l'asse delle ruote esterne con il centro di massa della vettura. E' banale dimostrare che questo momento si annulla se il centro di massa e' sull'asse delle ruote, ed e' altrettanto banale dimostrare che se il centro di massa e' al di sotto dell'asse centrale delle ruote la coppia di forza addirittura contribuisce (e in modo sostanziale) a stabilizzare la vettura in curva.

Dunque ecco spiegato un'***altro*** motivo per cui le vetture sportive hanno ruote molto grandi. In primo luogo infatti (come dicemmo tempo fa) questo serve perche' le asperita' stradali vengono minimizzate dalle ruote grandi. In secondo luogo, come abbiamo visto in questa nota c'e' il fatto assai importante che se le ruote sono grandi il asse delle tende a posizionarsi piu' in alto rispetto al centro di massa della vettura. Il tutto naturalmente comporta che la vettura tende a sollevare molto meno l'asse interno delle ruote durante una curva molto stretta. Ancora sempre per questo si tende a progettare le vetture con il centro di massa molto basso.

Opinioni in merito sono gradite.

Regards,
Francesco ))

Ragazzi ho bisogno di aiuto! NON MI TROVO PER NULLA.


Potremmo ora chiederci: ma quanto vale l'accelerazione differenziale ad_ ?

detti allora:
----------------------------------------------------------
z = omega, velocita' angolare

R = raggio centrale di curvatura, cioe' raggio di curvatura del centro di massa

Ri = raggio interno di curvatura = R - d/2

Re = raggio esterno di curvatura = R + d/2

ve = velocita' esterna ( ve = z Re = z (R+d/2) )

vi = velocita' interna ( vi = z Ri = z (R-d/2) )

d = larghezza dell'asse delle ruote

h = altezza del centro di massa rispetto all'asse delle ruote

r = distanza tra il centro di massa e l'asse delle ruote =
= SQ(d^2/4 + h^2)

Tc = momento di forza di Coriolis

Tm = momento di forza della forza peso

---------------------------------------------------------

Si ha:

|Tc_| = r/2 * m |ac_| = m r/2 ad

|ad_| = ad = 2 z (ve - vi) = 2z ( R + d/2 - (R - d/2) ) =
= 2 z d


per cui:

Tc = m r/2 2 z d = m r z d

ovvero essendo r = SQ(d^2/4 + h^2) si ha:

1) [ Tc = m z d SQ(d^2/4 + h^2) ]


D'altronde si ha che il momento di forza della forza peso Tm risulta invece stabilizzante per il veicolo. Per questo momento di forza si ha che:

Tm = mg r/2

ovvero

2) [ Tm = 1/2 m g SQ(d^2/4 + h^2) ]

nella condizione limite che preclude al ribaltamento si ha:

Tc = Tm

dunque:

m z d SQ(d^2/4 + h^2) = 1/2 m g SQ(d^2/4 + h^2)

da cui:

z d = 1/2 g

ovvero:

3) [ z = 1/2 g/d ]

Se i calcoli sono esatti, e ripeto "se", questa rappresenta un po' l'equazione della tenuta di strada di un veicolo prima che le gomme interne si stacchino da terra.

Ora facciamo alcune notazioni sulla (3).

a) Innanzitutto la velocita' angolare non dipende dalla massa. Questo ci spiega come sia possibile che vetture che hanno masse eccellenti, in realta' non eccellono rispetto alla stabilita' di vetture di peso molto piu' contenuto.

b) La velocita' angolare limite e' invece dipendente dalla larghezza dell'asse del veicolo.

TUTTAVIA QUESTO TIPO DI DIPENDENZA E' ASSURDO. PIU' CRESCE LA LARGHEZZA DEL VEICOLO PIU' DIMINUISCE LA VELOCITA' ANGOLARE LIMITE.

NON VA.

HELP!

Regards,
Francesco 8(((

[Regazzoni]

Scritto in origine da frallog

Dunque si ha una vera e propria coppia di forze che esercita un momento di forza sull'asse di raggio r, asse che collega idealmente l'asse delle ruote esterne con il centro di massa della vettura. E' banale dimostrare che questo momento si annulla se il centro di massa e' sull'asse delle ruote, ed e' altrettanto banale dimostrare che se il centro di massa e' al di sotto dell'asse centrale delle ruote la coppia di forza addirittura contribuisce (e in modo sostanziale) a stabilizzare la vettura in curva.

Dunque ecco spiegato un'***altro*** motivo per cui le vetture sportive hanno ruote molto grandi. In primo luogo infatti (come dicemmo tempo fa) questo serve perche' le asperita' stradali vengono minimizzate dalle ruote grandi. In secondo luogo, come abbiamo visto in questa nota c'e' il fatto assai importante che se le ruote sono grandi il asse delle tende a posizionarsi piu' in alto rispetto al centro di massa della vettura. Il tutto naturalmente comporta che la vettura tende a sollevare molto meno l'asse interno delle ruote durante una curva molto stretta. Ancora sempre per questo si tende a progettare le vetture con il centro di massa molto basso.Regards,
Francesco ))

Sbagliato.
L'unico modo per avere una coppia ribaltante nulla è avere il baricentro alla stessa quota dell'appoggio a terra ( e non dell'asse della ruota che non conta nulla) cioè a filo asfalto e l'unico modo per avere un momento ribaltante contrario è averi il baricentro più in basso del piano stradale (che per le auto è ovviamente impossibile).
Quindi le dimensioni delle ruote non interferiscono direttamente sulle proprietà di ribaltamento della macchina e quindi non conta avere ruote più grandi.

Secondo: non vedo cosa centri in questo caso la forza di Coriolis.
Qui dobbiamo solo considerare la forza laterale a terra, la massa del veicolo, l'altezza del baricentro, la distanza laterale del baricentro dalla zona di appoggio del pneumatico; ancora più semplice basta cosiderare l'accelerzaione laterale, l'altezza del baricentro e la sua distanza laterale dall'appoggio ruota (cioè più o meno la metà della carreggiata).

Per prima cosa grazie Regazzoni.

Per la prima cosa vada pure, anche se mi rimangono dei dubbi.

Per la seconda cosa pero' considera quanto segue:

In un moto circolare si ha che:

v_ = z_ X r_

per cui detta "al_" l'accelerazione puntuale di Coriolis si ha:

al_ = 2 z_ X v_ = 2 z_ X ( z_ X r_)

la' dove l'accelerazione centrifuga "ac_" vale:

ac_ = z_ X ( z_ X r_)

per cui l'accelerazione di Coriolis e' due volte l'accelerazione centrifuga. Dunque essa non e' trascurabile nel caso in cui le dimensioni laterali della vettura siano paragonabili a quelle del raggio della curva. Tra l'altro l'accelerazione di Coriolis e' diretta verso l'interno della curva, come se fosse un'accelerazione centripeta.
Infine questo e' l'unico metodo con cui c'entra qualche cosa la larghezza "d" del veicolo, solo che viene male l'equazione; e intuitivamente e' chiaro che un veicolo piu' largo e' "piu' stabile" in curva. Volendo proprio dirla tutta io mi sarei aspettato qualcosa del tipo:

z <prop> d/h

Dove questa volta, "OK", h e' l'altezza da terra.

Ma qui non viene per nulla una cosa del genere.

Ci riflettero' sopra poi ti faro' sapere. Ho gia' trovato degli erroracci perche' sono passato dalle equazioni vettoriali a quelle scalari senza includere gli angoli.

Grazie comunque delle tue preziose risposte Regazzoni.

Regards,
Francesco ))

Ok trascuriamo Coriolis, per adesso.

detti 

m = massa del veicolo

Fc_ = Forza centrifuga (sul centro di massa)

d_ = distanza tra le ruote interne e quelle esterne (d_/2 = braccio)

g_ = accelerazione di gravita'
                
a_ = il vettore (di misura a) che collega la

z = omega = velocita' angolare.

               +---+ 
               | m |\-----> Fc = m z_ X (z_ X v_)
               +|--+ \   
                ||    \
             mg_||     \ a_= SQ(d^2/4 + h^2)
                V|      \
                 |h      \
                 |        \
     | |         |         \| |
     | |---------|----------| |
     | |         |<-------->| |
                      d/2   



ed in particolare per gli angoli:

               +---+ 
               | m |\-----> Fc = m z_ X (z_ X v_)
               +|--+ \ Fc_:a_  
                ||    \
             mg_||g_:a_\ a_= SQ(d^2/4 + h^2)
                V|      \
                 |       \

g_:a_ angolo  compreso tra il vettore della forza peso ed il vettore a_ 
         che costituisce il braccio

Fc_:a_ angolo compreso tra il vettore della forza centrifuga ed il vettore a_
          che costituisce il braccio.


evidentemente

<g_:a_> + <Fc_:a_> = 90°

Si ricava allora che per z=z limite:

T_(mg) = T_(Fc)

ovvero:

m g_ X a_ = m { z_ X ( z_ X r_ ) }

da cui:

g_ X a_ = z_ X ( z_ X r_ ) X a_

da cui:


a) |g_ X a_| = |z_ X ( z_ X r_ ) X a_|

ora

|g_ X a_ | = g a sen<g_:a_>
|z_ X ( z_ X r_ ) X a_| = z^2 r sen<Fc_:a_> a

da cui, sostituendo nella (a) e semplificando il valore "a" si ha:

b) g sen<g_:a_> = z^2 r sen<Fc_:a_>

ed essendo:

<Fc_:a_> = 90° - <g_:a_> ovvero:

sen<Fc_:a_> = sen <90° - g_:a_> = cos<g_:a_>

si ricava sostituendo nella (b):

1) [ g sen<g_:a_> = z^2 r cos<g_:a_> ]

dalla (1) si ricava allora:

z^2 = g/r sen sen<g_:a_>/cos<g_:a_> = g/r tg<g_:a_>

ovvero:

2) [ z^2 = g/r tg<g_:a_> ]

ma osservando la figura sopra e' subito visto che: tg<g_:a_> = d/2 / h = 1/2 d/h per cui:

z^2 = 1/2 g/r d/h

ovvero:

3) [ z_lim = SQ { 1/2 g/r d/h } ]

che e' effettivamente l'equazione attesa. Continuo a precisare che pero' nelle curve molto strette Coriolis non e' per nulla trascurabile.

Regards,
Francesco 8???

[lorenzo78]

ma prima di entrare in curva fai tutti sti calcoli???

Regards,
Francesco )))))))

Dimenticavo. Dall'equazione:

3) [ z_lim = SQ { 1/2 g/r d/h } ]

ricaviamo la cosiddetta tenuta di strada per il caso del ribaltamento. Infatti:

acc laterale = r z_lim^2 = r 1/2 g/r d/h = 1/2 g d/h

ovvero:

4) [ acc laterale lim (m/sec^2) = 1/2 g d/h ]

questa e' espressa in m/sec^2. per esprimerla in g invece abbiamo:

5) [ acc laterale lim (g) = 1/2 d/h ]

Ma questo sempre trascurando Coriolis.

Regards,
Francesco ))

[Regazzoni]

Senza farla tanto complessa e senza andare a scartabellare equazioni, il principio del ribaltamento di un corpo appoggiato a terra è sempre quello (quello che a scuola ti spiegano con il disewgnino della Torre di Pisa):
si ha ribaltamento quando il la forza complessiva cade fuori dalla zona di appoggio del corpo.
Nel caso di sola gravità, si ha che il corpo si ribalta quando il suo baricentro cade fuori dalla sua base.
Nel caso di corpi in movimento (in curva) o comunque soggetti ad una forza laterale, si ha il ribaltamento quando la risultante delle forze (forza peso più forza laterale), cade fuori dalla zona di appoggio (partendo dal baricentro).
Quindi nel caso dell'auto in curva (o del caravan con vento laterale o della jeep in pendenza ecc...) il ribaltamento (in qualsiasi direzione) si ha quando la risultante delle forze (cioè la somma complessiva), fatta partire dal baricentro casca all'esterno delle ruote.
Quindi basta calcolarsi l'angolo formato da tale risultante e sapere quanto l'auto è larga e quanto il baricentro è alto.

Replica equazioni

4) [ acc laterale lim (m/sec^2) = 1/2 g d/h ]


5) [ acc laterale lim (g) = 1/2 d/h ]

Un'ultima notazione. Osservando la (4) si vede che le dimensioni tornano, infatti d/h sono due lunghezze e il loro rapporto genera un numero adimensionale mentre "g" rimane un'accelerazione. Dunque sia a destra che a sinistra dell'equazione abbiamo un'accelerazione, entrambe sono espresse in metri/sec^2 (MKSA).

Osservando la (5) invece d/h e' adimensionale (metri su metri) e non c'e' nulla che riconduca ad un'accelerazione.

La conclusione e' che quando si rimane in uno dei sistemi metrici internazionali le dimensioni ***devono*** tornare. Quando si abbandonano i sistemi metrici intetrnazionali le dimensioni possono non tornare, ma l'equazione rimane esatta.

Regards,
Francesco ))